已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1-1）2+（x2-1）2的最小值是−92−92．

Question

已知关于x的方程x²+2kx+k²+k+3=0的两根分别是x₁、x₂，则（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值是

−(9)/(2)

−(9)/(2)

．

Answer 1

∵关于x的方程x²+2kx+k²+k+3=0的两根分别是x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²+k+3，
（x₁-1）²+（x₂-1）²=x12+x22−2(x1+x2)+2
=(x1+x2)2−2x1x2−2(x1+x2)+2
=（-2k）²-2（k²+k+3）-2（-2k）+2
=2k²+2k-4=2(k+(1)/(2))2−(9)/(2)≥−(9)/(2)
故答案为：−(9)/(2)