已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=q（bn+1-bn），n∈N*（1）若bn=2n-3，a1=1，q=2，求数列{an}的通项公式；（2）若a1=1，b1=2，且数列{bn}为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列{an}也是等比数列；（3）

Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=q（b_n+1-b_n），n∈N^*
（1）若b_n=2n-3，a₁=1，q=2，求数列{an}的通项公式；
（2）若a₁=1，b₁=2，且数列{b_n}为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列{a_n}也是等比数列；
（3）若a₁=q，b_n=qⁿ（n∈N^*），且q∈（-1，0），数列{an}有最大值M与最小值m，求(M)/(m)的取值范围．

Answer 1

（1）∵b_n=2n-3，∴b_n+1-b_n=2．
又a₁=1，q=2，
∴a_n+1-a_n=q（b_n+1-b_n）=2×2=4，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为4．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
（2）∵数列{b_n}是公比为k不为1的等比数列，b₁=2．
∴b_n=2•k^n-1．
∵a_n+1-a_n=q（b_n+1-b_n），a₁=1．
∴a₂=1+q（2k-2），
同理可得：a₃=a₂+q（b₃-b₂）=1+q（2k-2）+q（2k²-2k），
∵

a

2 2

=a₁a₃，
∴[1+q（2k-2）]²=1×[1+q（2k-2）+q（2k²-2k）]，k≠1．
化为2q=1或q=0，解得q=(1)/(2)或q=0．
（3）∵a₁=q，b_n=qⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=q（qⁿ⁺¹-qⁿ）=qⁿ⁺²-qⁿ⁺¹．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（qⁿ⁺¹-qⁿ）+（qⁿ-q^n-1）+…+（q³-q²）+q
=qⁿ⁺¹+q-q²，
∵q∈（-1，0），
∴qⁿ⁺¹∈（-1，1），q³≤qⁿ⁺¹≤q²，
∴数列{a_n}有最大值M=q，最小值m=q³-q²+q．
∴(M)/(m)=(q)/(q3-q2+q)=(1)/(q2-q+1)=(1)/((q-(1)/(2))2+(3)/(4))∈((1)/(3)，1)．