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如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．（1）求证：PA=PQ；（2）用等式表示PB2、PD2、AQ2之间的数量关系，并证明；（3）点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径

题目详情

如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P 作PQ⊥AP交CD边于点Q．
作业搜

（1）求证：PA=PQ；
（2）用等式表示PB²、PD²、AQ²之间的数量关系，并证明；
（3）点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为2，则AQ的中点M移动的路径长为___（直接写出答案）．

▼优质解答

答案和解析

（1）证明：过点P作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F，如图1所示：作业搜

∴∠PED=∠PEA=∠PFQ=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
∴PE=PF，
∴四边形PEDF是正方形，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPQ+∠FPQ=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠EPQ+∠APE=90°，
∴∠APE=∠FPQ，
在△APE和△QPF中，

∠PEA=∠PFQ
PE=PF
∠APE=∠FPQ

，
∴△APE≌△QPF（ASA），
∴PA=PQ；
（2） PD²+PB²=AQ²，理由如下：
延长FP交AB于点G，如图2所示：作业搜

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠PBG=45°，
∴∠BGP=∠PFD=90°，
∴△PBG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BP²=2PG²，
同理：PD²=2PE²，
由（1）得PA=PQ，AP⊥PQ，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AQ²=2PA²，
∵∠AEP=∠AGP=∠BAD=90°，
∴四边形AEPG为矩形，
∴PE=AG，
∵PA²=AG²+PG²，
∴PD²+PB²=2PE²+2PG²=2AG²+2PG²=2AP²=AQ²；
（3）当点P在B点处时，点Q与点C重合，AQ的中点即为点O，
则AQ的中点M移动的路径长为OM的长；
连接PC，如图3所示：

由正方形的对称性得：PA=PC，
由（2）得：△PBG是等腰直角三角形，
∴FC=BG=

，
由（1）得：PA=PQ，
∴PC=PQ，
∵PF⊥CQ，
∴FQ=FC=

，
∴CQ=2

，
∵O是AC的中点，M是AQ的中点，
∴OM=

CQ=

；
故答案为：