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如图,已知菱形ABCD,∠B=60°,△ADC内一点M满足∠AMC=120°,若直线BA与CM交于点P,直线BC与AM交于点Q,求证:P,D,Q三点共线.
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如图,已知菱形ABCD,∠B=60°,△ADC内一点M满足∠AMC=120°,若直线BA与CM交于点P,直线BC与AM交于点Q,求证:P,D,Q三点共线.
▼优质解答
答案和解析
证明:连接PD,DQ,
由已知∠PAC=120°,∠QCA=120°,
∴△PAC∽△AMC,△AMC∽△ACQ.
∴
=
,
=
.
∴AC2=PA•QC,又AC=AD=DC.
∴
=
,又∠PAD=∠DCQ=60°,
∴△PAD∽△DCQ,∴∠APD=∠CDQ.
∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°,
∴P,D,Q三点共线.
由已知∠PAC=120°,∠QCA=120°,
∴△PAC∽△AMC,△AMC∽△ACQ.
∴
PA |
AM |
AC |
MC |
AC |
AM |
QC |
MC |
∴AC2=PA•QC,又AC=AD=DC.
∴
PA |
DC |
AD |
QC |
∴△PAD∽△DCQ,∴∠APD=∠CDQ.
∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°,
∴P,D,Q三点共线.
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