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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图所示.(1)点D,B,F,E共面吗?(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置;(3)点P,Q,R共线吗?
题目详情
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图所示.
(1)点D,B,F,E共面吗?
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置;
(3)点P,Q,R共线吗?
(1)点D,B,F,E共面吗?
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置;
(3)点P,Q,R共线吗?
▼优质解答
答案和解析
(1)共面,证明:由于CC1和BF在同一平面内,且不平行,故必相交,设交点为O,则OC1=C1C,同理,直线DE与CC1也相交,设交点为O1,则O1C1=C1C,故O1与O重合,得DE与BF交于O,故D,B,F,E共面.
(2)在正方体AC1中,连接PQ,
∵Q∈A1C1,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF,
∴Q∈平面BDEF,即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点,
同理,P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点.
∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ.
又A1C∩平面BDEF=R,
∴R∈A1C,
∴R∈平面A1C1CA,
R∈平面BDEF.
∴R是A1C与PQ的交点.如图.
(3)共线,证明:由(2)知,PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1,R∈A1C,
而A1C⊂平面A1ACC1,故R∈平面A1ACC1,
同理,R∈平面BDEF,
故R∈PQ,即P,Q,R三点共线.
(2)在正方体AC1中,连接PQ,
∵Q∈A1C1,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF,
∴Q∈平面BDEF,即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点,
同理,P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点.
∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ.
又A1C∩平面BDEF=R,
∴R∈A1C,
∴R∈平面A1C1CA,
R∈平面BDEF.
∴R是A1C与PQ的交点.如图.
(3)共线,证明:由(2)知,PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1,R∈A1C,
而A1C⊂平面A1ACC1,故R∈平面A1ACC1,
同理,R∈平面BDEF,
故R∈PQ,即P,Q,R三点共线.
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