抛物面z=x^2+y^2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点与该椭圆上点的距离的最大值与最小值

Question

抛物面z=x^2+y^2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点与该椭圆上点的距离的最大值与最小值

Answer 1

问题等价于求d^2=x^2+y^2+z^2在条件z=x^2+y^2和x+y+z=1下的极值
运用拉格朗日乘数法
记f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+a(x^2+y^2-z)+b(x+y+z-1)
令
f'x=2x+2ax+b=0
f'y=2y+2ay+b=0
f'z=2z-a+b=0
x^2+y^2-z=0
x+y+z-1=0
解得
x=y=(-1±√3)/2,z=2-＋√3
得d1=√(9-5√3),d2=√(9+5√3)
所以原点与该椭圆上点的距离的最大值为d2=√(9+5√3),最小值为d1=√(9-5√3)