1.z=x^y,x=sint,y=cost,求dz/dt2.求二阶微分方程xy''-y'=x^3的通解

Question

1.z=x^y,x=sint ,y=cost,求dz/dt
2.求二阶微分方程xy''-y'=x^3的通解

Answer 1

1、dz/dt=(∂z/∂x)*dx/dt+(∂z/∂y)*(dy/dt)
=y*x^(y-1)cost+x^y*lnx(-sint)
=(cost)^2*(sint)^(cost-1)-(sint)^(cost+1)*ln(sint).
2、设y’=u,
y”=u’.
xu’-u=x^3,(1)
令xu’-u=0,这是对应（1）的齐次线性方程,
du/u=dx/x,
u=C1x,
用参数变易法,
令u=vx,
du/dx=xdv/dx+v,
代入（1）式,
x(xdv/dx+v)-vx=x^3,
x^2*dv/dx=x^3,
dv/dx=x,
dv=xdx.
v=x^2/2+C2,
u=(x^2/2+C2)x,
dy/dx=(x^2/2+C2)x,
dy=(x^3/2+C2x)dx,
∴二阶微分方程xy''-y'=x^3的通解为：
y=x^4/8+Cx^2/2+C0,（C和C0为常数）.