设Σ是锥面z=x2+y2（0≤z≤1），取下侧，则∬3xdydz+2ydzdx+（z-1）dxdy=．

Question

设Σ是锥面z=√(x2+y2)（0≤z≤1），取下侧，则

∬

3xdydz+2ydzdx+（z-1）dxdy=______．

Answer 1

补充平面∑1：z＝1(x2+y2≤1)，取上侧，令∑和∑₁所围成的立体区域为Ω，
则由高斯公式，得

∬

3xdydz+2ydzdx+(z−1)dxdy=

∬

∑+∑1

3xdydz+2ydzdx+(z−1)dxdy-

∬

∑1

3xdydz+2ydzdx+(z−1)dxdy
=

∫∫∫

Ω

(3+2+1)dxdydz−

∫∫

∑1

(1−1)dxdy
=6

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

rdr

∫

1 r

dz−0
=2π