设曲面∑是z=4−x2−y2的上侧，则∫∫xydydz+xdzdx+x2dxdy=4π4π．

Question

设曲面∑是z=

4−x2−y2

的上侧，则

∫∫

xydydz+xdzdx+x²dxdy=4π4π．

Answer 1

作辅助面∑₁：z=0，取下侧，
设∑和∑₁所围成的封闭区域为Ω，则Ω＝(x，y，z)|0≤z≤

4−x2−y2

，x²+y²≤4
由高斯公式，得：

∫∫

xydydz+xdzdx+x2dxdy＝

∫∫

∑+∑1

xydydz+xdzdx+x2dxdy−

∫∫

∑1

xydydz+xdzdx+x2dxdy
=

∭

Ω

((∂P)/(∂x)+(∂Q)/(∂y)+(∂R)/(∂z))dxdydz−

∫∫

∑1

xydydz+xdzdx+x2dxdy
=

∭

Ω

ydxdydz−

∫∫

x2+y2≤4

x2dxdy=I₁-I₂
而Ω是关于xoz面对称的，被积函数y是关于y的奇函数，故由三重积分的对称性性质知I₁=0
又I2＝

∫∫

x2+y2≤4

x2dxdy=−

∫

2π0

dθ

∫

20

r2cos2θ•rdr＝−

∫

2π0

(1+cos2θ)/(2)dθ

∫

20

r3dr=-4π
∴

∫∫

xydydz+xdzdx+x2dxdy＝4π