Z=f(x,y)=(6x-x^2)(4y-y^2)求Z的极值

Question

Z=f(x,y)=(6x-x^2)(4y-y^2)求Z的极值

Answer 1

f'x=(6-2x)(4y-y²)=0, 得x=3, 或y=0, 4
f'y=(6x-x²)(4-2y)=0, 得x=0, 6, 或y=2
得驻点(3, 2), （0,0) , (0, 4), (6, 0), (6, 4)
A=f"xx=-2(4y-y²)
B=f"xy=(6-2x)(4-2y)=4(3-x)(2-y)
C=f"yy=-2(6x-x²)
在(3,2), A=-8, B=0, C=-18, B²-AC=-144<0, 此为极大值点，极大值为f(3,2)=36;
在(0,0), A=0, B=24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点；
在(0,4), A=0, B=-24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点；
在(6,0), A=0, B=-24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点；
在(6,4), A=0, B=24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点。