推导极坐标系下的柯西黎曼方程,主要是f(z)用直角坐标系可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y),但用极坐标系怎么表示?

Question

推导极坐标系下的柯西黎曼方程,主要是f(z)用直角坐标系可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y),但用极坐标系怎么表示?

Answer 1

在直角坐标中f(z)表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其中z表示为z=x+iy,类似地在极坐标中,变量是r和θ,因此f(z)表示为f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ),其中z表示为z=re^(iθ).把这里的r和θ看做中间变量,即u和v都是关于x与y的复合函数,根据极坐标与直角坐标的转化关系r=√(x^2+y^2),θ=arctan(y/x),有u'x=u'r*r'x+u'θ*θ'x=cosθ*u'r-rsinθ*u'θ,同理求出u'y,v'x和v'y,带人直角坐标的柯西黎曼方程u'x=v'y,u'y=-v'x中,得sinθ*u'r+rcosθ*u'θ=-cosθ*v'r+rsinθ*v'θ,cosθ*u'r-rsinθ*u'θ=sinθ*v'r+rcosθ*v'θ,两式联立可得u'r=rv'θ,v'r=-ru'θ,这就是极坐标下的柯西黎曼方程.