已知函数f（x）=ax+1+lnxx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）=xf（x）有唯一零点，试求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ax+1+(lnx)/(x)，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）的定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）=xf（x）有唯一零点，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝a+(1−lnx)/(x2)＝(ax2−lnx+1)/(x2)，
∴f'（x）≥0，∀x＞0，∴ax²-lnx+1≥0，∀x＞0，
∴a≥(lnx−1)/(x2)                      
令h（x）=(lnx−1)/(x2)，则h'（x）=((1)/(x)x2−2x(lnx−1))/(x4)＝(3−2lnx)/(x3)＝0有根：x0＝e(3)/(2)，
当x∈（0，x₀），h'（x）＞0，函数h（x）单增；
当x∈（x_0，+∞），h'（x）＜0，函数h（x）单减
∴a≥(h(x))max＝h(x0)＝(1)/(2e3)
（Ⅱ）由题g（x）=xf（x）=ax²+x+lnx=0，即a＝(−x−lnx)/(x2)有唯一正实数根；
令φ（x）=(−x−lnx)/(x2)，即函数y=a与函数y=φ（x）有唯一交点；
φ′（x）=((−1−(1)/(x))x2−(−x−lnx)2x)/()＝(x−1+2lnx)/(x3)；
再令R（x）=x-1+2lnx，R'（x）=1+(2)/(x)＞0，∀x＞0，且易得R（1）=0，
故当x∈（0，1）时，R（x）＜0，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，R（x）＞0，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增；
即φ（x）≥φ（1）=-1
又当x→0时，φ（x）→+∞，
而当x→+∞时，φ（x）→0且φ（x）＜0，
故满足条件的实数a的取值范围为：{a|a≥0，或a=-1}．