求二重积分∫∫Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy的值，其中D是由直线y=x，y=-1及x=1围成的平面区域．

Question

求二重积分

∫∫

D

y[1+xe(1)/(2)(x2+y2)]dxdy的值，其中D是由直线y=x，y=-1及x=1围成的平面区域．

Answer 1

根据题意，作出积分区域D，如图所示．

∫∫

D

y[1+xe(1)/(2)(x2+y2)]dxdy=

∫∫

D

ydxdy+

∫∫

D

yxe(1)/(2)(x2+y2)dxdy
其中：

∫∫

D

ydxdy=

∫

1 −1

ydy

∫

1 y

dx
=

∫

1 −1

y（1-y）dy
=

∫

1 −1

（y-y²）dy=
=((y2)/(2)−(y3)/(3))

|

1 −1

=−(2)/(3)；

∫∫

D

yxe(1)/(2)(x2+y2)dxdy=

∫

1 −1

ydy

∫

1 y

xe(1)/(2)(x2+y2)dx
=

∫

1 −1

ydy

∫

1 y

e(1)/(2)(x2+y2)d(1)/(2)(x2+y2)
=

∫

1 −1

ye(1)/(2)(x2+y2)

|

1 y

dy
=

∫

1 −1

y[e(1)/(2)(1+y2)-ey2]dy
∵y[e(1)/(2)(1+y2)-ey2]为奇函数，其积分区间关于零点对称，故函数积分为0；即

∫

1 −1

y[e(1)/(2)(1+y2)-ey2]dy=0；
∴

∫∫

D

yxe(1)/(2)(x2+y2)dxdy=

∫

1 −1

y[e(1)/(2)(1+y2)-ey2]dy=0；
∴

∫∫

D

y[1+xe(1)/(2)(x2+y2)]dxdy=

∫∫

D

ydxdy+

∫∫

D

yxe(1)/(2)(x2+y2)dxdy
=−(2)/(3)+0=−(2)/(3)；
故本题答案为：−(2)/(3)．