计算曲面积分I=∬x（8y+1）dydz+2（1-y2）dzdx-4yzdxdy．其中，Σ是由曲线z＝y−1x＝0（1＜y＜3）绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于π2．

Question

计算曲面积分I=

∬

x（8y+1）dydz+2（1-y²）dzdx-4yzdxdy．其中，Σ是由曲线

z＝√(y−1)

x＝0

（1＜y＜3）绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于(π)/(2)．

Answer 1

作平面∑1：

y＝3

x2+y2≤2

，方向与y轴正向相同，则：
I=

∬

∑+∑1

x（8y+1）dydz+2（1-y²）dzdx-4yzdxdy-

∬

∑1

x（8y+1）dydz+2（1-y²）dzdx-4yzdxdy 
=I₁ -I₂，
对于I₁ ，利用高斯公式进行计算：
因为∑+∑₁所围的区域为：Ω={（x，y，z）|1≤y≤3，x²+z²≤y-1}，
被积函数分别为：P=x（8y+1），Q=2（1-y²），R=-4yz，
则：(∂P)/(∂x)+(∂Q)/(∂y)+(∂R)/(∂z)＝8y+1−4y−4y＝1，
所以，由高斯公式有：
I₁ =

∬

∑+∑1

x（8y+1）dydz+2（1-y²）dzdx-4yzdxdy
=

∭

Ω

1dxdydz
=

∫

3 1

dy

∬

x2+z2≤y−1

dxdz
=

∫

3 1

π(y−1)dy
=2π，
对于I₂，利用投影法计算I₂：
I₂=

∬

∑1

x（8y+1）dydz+2（1-y²）dzdx-4yzdxdy 
=

∬

∑1

2（1-3²）dzdx
=-16

∬

x2+y2≤2

dzdx
=-32π，
从而：I=I₁ -I₂ =34π．