a,b,c,d为正实数,求证：（（a^2+b^2+c^2+d^2)/4)^(1/2)≥((abc+bcd+abd+acd)/4)^(1/3)大概是用均值不等式吧.

Question

a,b,c,d为正实数,求证：（（a^2+b^2+c^2+d^2)/4)^(1/2)≥((abc+bcd+abd+acd)/4)^(1/3)
大概是用均值不等式吧.

Answer 1

就是要证明(a^2+b^2+c^2+d^2)^3>=4(abc+bcd+abd+acd)^2
右边=(4bc(a+d)+4ad(b+c))^2/4<=((b+c)^2(a+d)+(a+d)^2(b+c))^2/4=(a+d)^2(b+c)^2*(a+b+c+d)^2/4<=2(a^2+d^2)*2(b^2+c^2)*(a+b+c+d)^2/4<=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2*(a+b+c+d)^2/4<=(a^2+b^2+c^2+d^2)^3
最后一步(a+b+c+d)^2/4<=a^2+b^2+c^2+d^2是柯西不等式的结论,不过用均值不等式也能简单得到：
((a+b)+(c+d))^2/2<=(a+b)^2+(c+d)^2<=2(a^2+b^2)+2(c^2+d^2)