若AB-B=A,其中B（行列式）=|1-20|；|210|；|002|,则A=?

Question

若AB-B=A,其中B（行列式）=|1 -2 0|；|2 1 0|；|0 0 2|,则A=?

Answer 1

谢谢lry31383的提醒,这是解矩阵方程的题型.结合楼上的解答,我也查过一些相关资料,总结出有两种解法,
【解法一】
由AB-B=A,得出A(B-E) = B
再证明矩阵(B-E)可逆 A E
然后根据矩阵“左行右列”的性质：求解矩阵方程XA=B,求X=BA^(-1),等价于 B → BA^(-1)
可参考这个网页：（从PPT的第28页开始看）
【解法二】
由AB-B=A,得出 (A-E)(B-E)=E,得出(B-E)可逆,然后求(B-E)^-1,A = E + (B-E)^-1
*****我是采用第一种解法的,第二种解法可参见lry31383的解答过程
由AB-B=A,得
AB - A = B
即,A(B-E) = B,其中E为与A、B同阶的单位矩阵(下同)
| 0 -2 0 |
∵|B-E| = | 2 0 0 | = 4 ≠ 0 ,即矩阵(B-E)可逆
| 0 0 1 |
∴ 原式两边同时右乘(B-E)^(-1) ,得
A = B(B-E)^(-1) （B-E） （ E ）
这相当于把矩阵 ( B ) 作初等变换,得到（ B(B-E)^(-1) ）
0 -2 0 -2 0 0 1 0 0
B-E 2 0 0 1、2列 0 2 0 No1列*(-1/2) 0 1 0 E
B = 0 0 1 ————→ 0 0 1 ——————→ 0 0 1 = B(B-E)^(-1)
1 -2 0 对换 -2 1 0 No2列*(1/2) 1 1/2 0
2 1 0 1 2 0 -1/2 1 0
0 0 2 0 0 2 0 0 2
| 1 1/2 0 |
∴ A = B(B-E)^(-1) = | -1/2 1 0 |
| 0 0 2 |
【评】
无可否认,第二种解法是一种技巧型的解法,不过它需要转一个弯才能运用.平时不太容易想到,特别是考试时当你的头脑像一团浆糊时是根本没法想到【解法二】的.相反,【解法一】是解矩阵方程的一种通法,拿起来就可以用.也许你会说它很繁不够简便,但却实用性很强.两种解法LZ都参考一下吧~