在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=3，cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=45，求△ABC的面积．

Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=√(3)，cos²A-cos²B=√(3)sinAcosA-√(3)sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=(4)/(5)，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=√(3)，cos²A-cos²B=√(3)sinAcosA-√(3)sinBcosB，
∴(1+cos2A)/(2)-(1+cos2B)/(2)=(√(3))/(2)sin2A-(√(3))/(2)sin2B，
即 cos2A-cos2B=√(3)sin2A-√(3)sin2B，即-2sin（A+B）sin（A-B）=2√(3)•cos（A+B）sin（A-B）．
∵a≠b，∴A≠B，sin（A-B）≠0，
∴tan（A+B）=-√(3)，∴A+B=(2π)/(3)，∴C=(π)/(3)．
（Ⅱ）∵sinA=(4)/(5)＜(√(3))/(2)，C=(π)/(3)，∴A＜(π)/(3)，或A＞(2π)/(3)（舍去），∴cosA=√(1−sin2A)=(3)/(5)．
由正弦定理可得，(a)/(sinA)=(c)/(sinC)，即 (a)/((4)/(5))=(√(3))/((√(3))/(2))，∴a=(8)/(5)．
∴sinB=sin[（A+B）-A]=sin（A+B）cosA-cos（A+B）sinA=(√(3))/(2)×(3)/(5)-（-(1)/(2)）×(4)/(5)=(4+3√(3))/(10)，
∴△ABC的面积为 (1)/(2)•ac•sinB=(1)/(2)×(8)/(5)×√(3)×(4+3√(3))/(10)=(18+8√(3))/(25)．