三角形三边为a,b,c.且满足3（a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2.请问这是什么形状的三角形?

Question

三角形三边为a,b,c.且满足3（a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2.请问这是什么形状的三角形?

Answer 1

3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2
3a^2+3b^2+3c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
又因为(a-b)^2≥0,(b-c)^2≥0,(c-a)^2≥0,
所以
(a-b)^2=0
(b-c)^2=0
(c-a)^2=0
解得a=b=c
所以这个三角形是等边三角形