在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M．（1）如图1，若∠B=30°，求证：△ACD是等边三角形；（2）如图2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．①求线段DM的长；②点P是射

Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M．
（1）如图1，若∠B=30°，求证：△ACD是等边三角形；
（2）如图2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．
①求线段DM的长；
②点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当△DMN是等腰三角形时，求线段MP的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
由题意可得D是直角三角形斜边A边上的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=60°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD为等边三角形；
（2） ①∵点D是直角三角形斜边AB上的中点，
∴AC=CD=AD，
∴∠ACD=∠A，
∵∠CDH=∠A，
∴∠ACD=∠CDH，
∴DH∥AC，
∴DM为△ABC的中位线，
∴DM=(1)/(2)AC=5；
②分三种情况考虑：
（i）当MN=DN时，如图1所示，
由①得：AD=CD，∠A=∠ACD=∠CDH，DM=5，
∵MN=DN，
∴∠CDN=∠DMN=∠A=∠ACD，
∴△ADC∽△DNM，
∴(DN)/(AD)=(DM)/(AC)，即(DN)/(13)=(5)/(10)，
解得：DN=(13)/(2)=(1)/(2)CD，
∴CN=DN，
∵DH∥AC，
∴△ACN≌△PDN，
∴PD=AC=10，
∴MP=PD-DM=10-5=5；
（ii）当MN=DM=5时，如图2所示，则有∠MND=∠MDN=∠ACD=∠A，
∴△ADC∽△MDN，
∴(DN)/(AC)=(DM)/(AD)，即(DN)/(10)=(5)/(13)，
解得：DN=(50)/(13)，
∴CN=13-(50)/(13)=(119)/(13)，
∵△ACN∽△PDN，
∴(PD)/(AC)=(DN)/(CN)，即(PD)/(10)=((50)/(13))/((119)/(13))，
解得：PD=(500)/(119)，
则MP=DM-PD=5-(500)/(119)=(95)/(119)；
（iii）当DN=DM时，如图2所示，则有DN=5，CN=13-5=8，
∵△ACN∽△PDN，
∴(PD)/(AC)=(DN)/(CN)，即(PD)/(10)=(5)/(8)，
解得：PD=(25)/(4)，
则MP=PD-DM=

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