如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是BC上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且

Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是BC上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S（cm²）与点P的运动时间t（s）的函数图象．

（1）CD=______，a=

(54)/(5)

(54)/(5)

；
（2）当点P在边AB上时，为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？
（3）运动过程中，求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值．

Answer 1

（1）当点P运动到点A时，△BPQ的面积为18，
∴(1)/(2)•6•BD=18，解得BD=6，
∴CD=BC-BD=2，
当t=5s时，AP=2×5-6=4，点Q在D点，点P在AB上如图①，作PH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB=√(AC2+BC2)=10，
∵PH∥AC，
∴△BPH∽△BAC，
∴(PH)/(AC)=(BP)/(BA)，即(PH)/(6)=(10−4)/(10)，解得PH=(18)/(5)，
∴S_△PBQ=(1)/(2)×6×(18)/(5)=(54)/(5)，
即a=(54)/(5)；
故答案为：2，(54)/(5)；

（2）点P在边AB上，
当3＜t≤5，点Q在D点，BP=16-2t，
若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，
∴(BP)/(BA)=(BD)/(BC)，即(16−2t)/(10)=(6)/(8)，解得t=(17)/(4)；
当5＜t≤8，DQ=t-5，则BQ=8-2-（t-5）=11-t，BP=16-2t，
当∠PQB=90°时，△BPQ∽△BAC，如图②，
∵△BPQ∽△BAC，
∴(BP)/(BA)=(BQ)/(BC)，即(16−2t)/(10)=(11−t)/(8)，解得t=3，不合题意舍去；
当∠BPQ=90°时，△BPQ∽△BAC，如图③，
∵△BPQ∽△BCA，
∴(BP)/(BC)=(BQ)/(BA)，即(16−2t)/(8)=(11−t)/(10)，解得t=6，
综上所述，当t为(17)/(4)或6时，△BPQ与△ABC为相似；

（3）PB=16-2t，BQ=11-t，
当BP=BQ，则16-2t=11-t，解得t=5；
当PB=PQ，作PM⊥BC于M，如图④，则BM=(1)/(2)BQ=(1)/(2)（11-t），
∵PM∥AC，
∴△BPM∽△BAC，
∴(BP)/(BA)=(BM)/(BC)，即(16−2t)/(10)=((1)/(2)(11−t))/(8)，解得t=(73)/(11)，
综上所述，当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值为5或(73)/(11)．