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已知a,b,c是三角型的三条边.求证a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2小于0
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已知a,b,c是三角型的三条边.求证a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2小于0
▼优质解答
答案和解析
原式=(a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+c^4-4a^2b^2=(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
=(a^2+b^2-c^2+2a^2b^2)(a^2+b^2-c^2-2a^2b^2)=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
由于三角形两边之和大于第三边
所以a+b+c>0,a+b-c>0,a-b+c>0,a-b-c
=(a^2+b^2-c^2+2a^2b^2)(a^2+b^2-c^2-2a^2b^2)=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
由于三角形两边之和大于第三边
所以a+b+c>0,a+b-c>0,a-b+c>0,a-b-c
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