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(2013•静安区二模)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AC、AB上,DA=DB,BD与CE相交于点F,∠AFD=∠BEC.求证:(1)AF=CE;(2)BF2=EF•AF.
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求证:(1)AF=CE;
(2)BF2=EF•AF.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵DA=DB,
∴∠FBA=∠EAC,
∵∠AFD=∠BEC,
∴180°-∠AFD=180°-∠BEC,
即∠BFA=∠AEC.
∵在△BFA和△AEC中
,
∴△BFA≌△AEC(AAS).
∴AF=CE.
(2)∵△BFA≌△AEC,
∴BF=AE.
∵∠EAF=∠ECA,∠FEA=∠AEC,
∴△EFA∽△EAC.
∴
=
.
∴EA2=EF•CE.
∵EA=BF,CE=AF,
∴BF2=EF•AF.
∴∠FBA=∠EAC,
∵∠AFD=∠BEC,
∴180°-∠AFD=180°-∠BEC,
即∠BFA=∠AEC.
∵在△BFA和△AEC中
|
∴△BFA≌△AEC(AAS).
∴AF=CE.
(2)∵△BFA≌△AEC,
∴BF=AE.
∵∠EAF=∠ECA,∠FEA=∠AEC,
∴△EFA∽△EAC.
∴
EA |
EC |
EF |
EA |
∴EA2=EF•CE.
∵EA=BF,CE=AF,
∴BF2=EF•AF.
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