（2012•吴中区二模）如图，已知AB为⊙O的直径，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是BC上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：△ACH∽△AFC；（2）猜想：AH•AF与AE•AB的

Question

（2012•吴中区二模）如图，已知AB为⊙O的直径，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是

BC

上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．
（1）求证：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想；
（3）当AE=

(1)/(8)

(1)/(8)

AB时，S_△AEC：S_△BOD=1：4．（直接在空格处填上正确答案，不需要说明理由．）

Answer 1

（1）证明：∵直径AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠F=∠ACD，
而∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC；

（2）AH•AF=AE•AB．理由如下：
连BF，如图．
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
而∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽Rt△AFB，
∴AE：AF=AH：AB，
即AH•AF=AE•AB；

（3）当AE=(1)/(8)AB时，S_△AEC：S_△BOD=1：4．理由如下：
∵S_△ACE=(1)/(2)AE•CE，S_△BOD=(1)/(2)DE•OB，S_△AEC：S_△BOD=1：4，
∴(1)/(2)DE•OB=4×(1)/(2)AE•CE，即DE•OB=4CE•AE，
∵直径AB⊥CD，
∴CE=DE，
∴OB=4AE，
∴AB=8AE，即AE=(1)/(8)AB．
故答案为(1)/(8)．