如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF垂直DE于点O，（1）证明：点F是BC的中点；（2）求OA：OF的值．

Question

如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF垂直DE于点O，
（1）证明：点F是BC的中点；
（2）求OA：OF的值．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠1+∠3=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABF和△DAE中，

∠1＝∠2

AB＝AD

∠DAE＝∠B＝90°

，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF=AE，
∵E为AB的中点，
∴AE=(1)/(2)AB，
∴BF=(1)/(2)BC，
∴点F是BC的中点；

（2）设正方形的边长为2a，
则AE=(1)/(2)AB=a，
由勾股定理得，DE=√(AD2+AE2)=√((2a)2+a2)=√(5)a，
S_△ADE=(1)/(2)×2a×a=(1)/(2)×√(5)a•OA，
解得OA=(2√(5))/(5)a，
∴OF=AF-OA=√(5)a-(2√(5))/(5)a=(3√(5))/(5)a，
∴OA：OF=(2√(5))/(5)a：(3√(5))/(5)a=2：3．