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求xy`-xsiny/x-y=0的通解
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求xy`-xsiny/x-y=0的通解
▼优质解答
答案和解析
两端同除以X,得y'=siny/x + y/x （1）,
这是一个齐次方程,令u=y/x,则y=ux,dy/dx=u+xdu/dx,
代入（1）式,得u+xdu/dx=sinu+u,即xdu/dx=sinu,
分离变量得 du/sinu=dx/x,因为∫du/sinu=ln|cscu-cotu|+C
积分得,ln|cscu-cotu|=lnx+lnC,C是大于0的常数,
从而有 ln|cscu-cotu|=lnCx ,注意到y=ux,
所以 csc(y/x)-cot(y/x) =Cx 即为原方程的通解.
证毕.
注：由∫du/sinu又可表述为∫du/sinu=ln|tanx/2|+C,所以按上述积分步骤解得通解的另一形式为
tan(y/2x)=Cx
这是一个齐次方程,令u=y/x,则y=ux,dy/dx=u+xdu/dx,
代入（1）式,得u+xdu/dx=sinu+u,即xdu/dx=sinu,
分离变量得 du/sinu=dx/x,因为∫du/sinu=ln|cscu-cotu|+C
积分得,ln|cscu-cotu|=lnx+lnC,C是大于0的常数,
从而有 ln|cscu-cotu|=lnCx ,注意到y=ux,
所以 csc(y/x)-cot(y/x) =Cx 即为原方程的通解.
证毕.
注：由∫du/sinu又可表述为∫du/sinu=ln|tanx/2|+C,所以按上述积分步骤解得通解的另一形式为
tan(y/2x)=Cx
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