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求二重积分∬Dmax(xy,1)dxdy,其中D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}.
题目详情
求二重积分
max(xy,1)dxdy,其中D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}.
∬ |
D |
▼优质解答
答案和解析
如图所示,将区域D分为三个区域D1,D2与D3,
其中:
D1={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,且xy>1},
D2={(x,y)|0.5≤x≤2,0≤y≤2,且xy≤1},
D3={(x,y)|0≤x≤0.5,0≤y≤2},
则:
max(xy,1)dxdy
=
max(xy,1)dxdy+
max(xy,1)dxdy+
max(xy,1)dxdy
=
xydxdy+
dxdy+
dxdy
=
dx
xydy+
dx
dy+
dx
dy
=(
−ln2)+2ln2+1
=
+ln2.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532833682-1475.jpg)
其中:
D1={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,且xy>1},
D2={(x,y)|0.5≤x≤2,0≤y≤2,且xy≤1},
D3={(x,y)|0≤x≤0.5,0≤y≤2},
则:
∬ |
D |
=
∬ |
D1 |
∬ |
D2 |
∬ |
D3 |
=
∬ |
D1 |
∬ |
D2 |
∬ |
D3 |
=
∫ | 2
|
∫ | 2
|
∫ | 2
|
∫ |
0 |
∫ |
0 |
∫ | 2 0 |
=(
15 |
4 |
=
19 |
4 |
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