求二重积分∬Dmax(xy，1)dxdy，其中D={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}．

Question

求二重积分

∬

D

max(xy，1)dxdy，其中D={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}．

Answer 1

如图所示，将区域D分为三个区域D1，D2与D3，
其中：
D₁={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，且xy＞1}，
D₂={（x，y）|0.5≤x≤2，0≤y≤2，且xy≤1}，
D₃={（x，y）|0≤x≤0.5，0≤y≤2}，
则：
 

∬

D

max（xy，1）dxdy
=

∬

D1

max(xy，1)dxdy+

∬

D2

max（xy，1）dxdy+

∬

D3

max（xy，1）dxdy
=

∬

D1

xydxdy+

∬

D2

dxdy+

∬

D3

dxdy
=

∫

2 (1)/(2)

dx

∫

2 (1)/(x)

xydy+

∫

2 (1)/(2)

dx

∫

(1)/(x) 0

dy+

∫

(1)/(2) 0

dx

∫

2 0

dy
=((15)/(4)−ln2)+2ln2+1
=(19)/(4)+ln2．