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如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.(1)求证:四边形ABFE是等腰梯形;(2)求AE的长.
题目详情
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作
EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.
(1)求证:四边形ABFE是等腰梯形;
(2)求AE的长.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852847-4646.jpg)
(1)求证:四边形ABFE是等腰梯形;
(2)求AE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过点D作DM⊥AB,
∵DC∥AB,∠CBA=90°,
∴四边形BCDM为矩形.
∴DC=MB.
∵AB=2DC,
∴AM=MB=DC.
∵DM⊥AB,
∴AD=BD.
∴∠DAB=∠DBA.
∵EF∥AB,AE与BF交于点D,即AE与FB不平行,
∴四边形ABFE是等腰梯形.
(2)∵DC∥AB,
∴△DCF∽△BAF.
∴
=
=
.
∵CF=4cm,
∴AF=8cm.
∵AC⊥BD,∠ABC=90°,
在△ABF与△BCF中,
∵∠ABC=∠BFC=90°,
∴∠FAB+∠ABF=90°,
∵∠FBC+∠ABF=90°,
∴∠FAB=∠FBC,
∴△ABF∽△BCF(AA),即
=
,
∴BF2=CF•AF.
∴BF=4
cm.
∴AE=BF=4
cm.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852846-3581.jpg)
∵DC∥AB,∠CBA=90°,
∴四边形BCDM为矩形.
∴DC=MB.
∵AB=2DC,
∴AM=MB=DC.
∵DM⊥AB,
∴AD=BD.
∴∠DAB=∠DBA.
∵EF∥AB,AE与BF交于点D,即AE与FB不平行,
∴四边形ABFE是等腰梯形.
(2)∵DC∥AB,
∴△DCF∽△BAF.
∴
CD |
AB |
CF |
AF |
1 |
2 |
∵CF=4cm,
∴AF=8cm.
∵AC⊥BD,∠ABC=90°,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852846-3581.jpg)
∵∠ABC=∠BFC=90°,
∴∠FAB+∠ABF=90°,
∵∠FBC+∠ABF=90°,
∴∠FAB=∠FBC,
∴△ABF∽△BCF(AA),即
BF |
CF |
AF |
BF |
∴BF2=CF•AF.
∴BF=4
2 |
∴AE=BF=4
2 |
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