（2009•松江区二模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合

Question

（2009•松江区二模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当S△DMF=(9)/(4)S△BEP时，求BP的长．

Answer 1

（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．（1分）
BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．
∴(EB)/(CP)=(BP)/(CD)．
∴△BEP∽△CPD．（2分）

（2）①∵∠B=∠C=∠EPF
∴180-∠B=180-∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF
∴∠BEP=∠FPC，（1分）
∴△BEP∽△CPF，
∴(EB)/(CP)=(BP)/(CF)．（1分）
∴(2)/(6-x)=(x)/(y+4)．（1分
∴y=-(1)/(2)x2+3x-4（2＜x＜4）．（2分）
②当点F在线段CD的延长线上时，
∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，
∴△BEP∽△DMF．（1分）
∵S△DMF=(9)/(4)S△BEP，
∴(DF)/(BP)=(3)/(2)=(y)/(x)．（1分）
∵y=-(1)/(2)x2+3x-4，
∴x²-3x+8=0，△＜0．
∴此方程无实数根．
故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使S△DMF=(9)/(4)S△BEP；（1分）
当点F在线段CD上时，同理△BEP∽△DMF，
∵S△DMF=(9)/(4)S△BEP，
∴(DF)/(BP)=(3)/(2)=(y)/(x)．
∵△BEP∽△CPF，
∴(EB)/(CP)=(BP)/(CF)．
∴(2)/(6-x)=(x)/(4-y)．（1分）
∴y=(1)/(2)x2-3x+4．
∴x²-9x+8=0，解得x₁=1，x₂=8．（1分）
由于x₂=8不合题意舍去．
∴x=1，即BP=1．（1分）
∴当S△DMF=(9)/(4)S△BEP时，BP的长为1．