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在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E是直线AB上两点.∠DCE=45°(1)当CE⊥AB时,点D与点A重合,显然DE2=AD2+BE2(不必证明);(2)如图,当点D不与点A重合时,求证:DE2=AD2+BE2;(3)当点D在BA的延
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在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E是直线AB上两点.∠DCE=45°
(1)当CE⊥AB时,点D与点A重合,显然DE2=AD2+BE2(不必证明);
(2)如图,当点D不与点A重合时,求证:DE2=AD2+BE2;
(3)当点D在BA的延长线上时,(2)中的结论是否成立?画出图形,说明理由.
(1)当CE⊥AB时,点D与点A重合,显然DE2=AD2+BE2(不必证明);
(2)如图,当点D不与点A重合时,求证:DE2=AD2+BE2;
(3)当点D在BA的延长线上时,(2)中的结论是否成立?画出图形,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵CE⊥AB,
∴AE=BE,
∵点D与点A重合,
∴AD=0,
∴DE2=AD2+BE2;
(2)证明:过点A作AF⊥AB,使AF=BE,连接DF,CF,
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠B=45°,
∴∠FAC=45°,
∴△CAF≌△CBE(SAS),
∴CF=CE,
∠ACF=∠BCE,
∵∠ACB=90°,∠DCE=45°,
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°,
∵∠ACF=∠BCE,
∴∠ACD+∠ACF=45°,
即∠DCF=45°,
∴∠DCF=∠DCE,
又∵CD=CD,
∴△CDF≌△CDE(SAS),
∴DF=DE,
∵AD2+AF2=DF2,
∴AD2+BE2=DE2;
(3)结论仍然成立;如图,
证明:过点A作AF⊥AB,使AF=BE,连接DF,
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠B=45°,
∴∠FAC=45°,
∴△CAF≌△CBE(SAS),
∴CF=CE,
∠ACF=∠BCE,
∵∠BCE+∠ACE=90°,
∴∠ACF+∠ACE=90°,即∠FCE=90°,
∵∠DCE=45°,
∴∠DCF=45°,
∴∠DCF=∠DCE,
又∵CD=CD,
∴△CDF≌△CDE(SAS),
∴DF=DE,
∵AD2+AF2=DF2,
∴AD2+BE2=DE2.
∴AE=BE,
∵点D与点A重合,
∴AD=0,
∴DE2=AD2+BE2;
(2)证明:过点A作AF⊥AB,使AF=BE,连接DF,CF,
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠B=45°,
∴∠FAC=45°,
∴△CAF≌△CBE(SAS),
∴CF=CE,
∠ACF=∠BCE,
∵∠ACB=90°,∠DCE=45°,
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°,
∵∠ACF=∠BCE,
∴∠ACD+∠ACF=45°,
即∠DCF=45°,
∴∠DCF=∠DCE,
又∵CD=CD,
∴△CDF≌△CDE(SAS),
∴DF=DE,
∵AD2+AF2=DF2,
∴AD2+BE2=DE2;
(3)结论仍然成立;如图,
证明:过点A作AF⊥AB,使AF=BE,连接DF,
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠B=45°,
∴∠FAC=45°,
∴△CAF≌△CBE(SAS),
∴CF=CE,
∠ACF=∠BCE,
∵∠BCE+∠ACE=90°,
∴∠ACF+∠ACE=90°,即∠FCE=90°,
∵∠DCE=45°,
∴∠DCF=45°,
∴∠DCF=∠DCE,
又∵CD=CD,
∴△CDF≌△CDE(SAS),
∴DF=DE,
∵AD2+AF2=DF2,
∴AD2+BE2=DE2.
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