如图1，已知矩形纸片ABCD．按以下步骤进行操作：①沿对角线AC剪开（如图2）；②固定△ADC，将△ABC以2cm/s的速度，沿射线CD的方向运动．设运动时间为ts，运动中△ABC的顶点A、B、C所对应的

Question

如图1，已知矩形纸片ABCD．按以下步骤进行操作：①沿对角线AC剪开（如图2）；②固定△ADC，将△ABC以2cm/s的速度，沿射线CD的方向运动．设运动时间为ts，运动中△ABC的顶点A、B、C所对应的点分别记作A′、B′、C′，且当t=2时，B′与△ACD的顶点A重合．
（1）请在图3中利用尺规补全当t=1时的图形（保留作图痕迹，不写作法）；（友情提醒：请别忘了标注字母！）
（2）若在整个平移过程中，△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积的最大值为3．
①试证明：当t=1时△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积取得最大值；
②请直接写出当t=2时点，A′与点C之间的距离___；
③试探究：当t为何值时，A′C与B′D恰好互相垂直？

Answer 1

（1）如图1所示：

（2）①如图1，设B′C′=b，由题意知，A′B′=AB=2×2=4，
∵DA∥B′C′，
∴△A′AE∽△A′B′C′，
∴(AE)/(B′C′)=(AA′)/(A′B′)，
(AE)/(b)=(2t)/(4)，
∴AE=(bt)/(2)，
∴△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积，
S=(bt)/(2)（4-2t）=-b（t-1）²+b，
∴当t=1时，△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积取得最大值；

②如图1，∵△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积的最大值为3，
∴b=3，
∵当t=1时，△A′B′C′与△ACD的重叠部分的面积取得最大值，
∴AE×AB′=3，
∵AE=AA′=AB′=2，
∴AE=(3)/(2)，
∴AD=3，
如图2，连接A′C，
∴A′C=√(A′B2+BC2)=√(82+32)=√(73)；
故答案为：√(73)；

③由题意知，A′B′∥CD，A′B′=CD，
∴四边形A′B′CD是菱形，
连接A′D，在Rt△A′AD中，AA′=2t，A′D=A′B′=4，AD=3，
由勾股定理得（2t）²+3²=4²，
∴t=(√(7))/(2)，
∴当t=(√(7))/(2)时，A′C和B′D恰好互相垂直．