如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，-2）直线OM是一次函数y=x的图象，让⊙A沿y轴正方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t．（1）填空：①直线OM与x轴所夹的

Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，-2）直线OM是一次函数y=x的图象，让⊙A沿y轴正方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t．
（1）填空：
①直线OM与x轴所夹的锐角度数为______°
②当t=______时，⊙A与坐标轴有两个公共点
（2）当t＞3时，求出运动过程中⊙A与直线OM相切时t的值，
（3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦长为1时，求t的值．

Answer 1

（1）①∵直线y=x上点到x轴和y轴的距离相等，
∴直线y=x为第一、三象限的角平分线，
∴直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；
②∵⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，-2），
∴⊙A沿y轴正方向运动时，⊙A始终与y轴相切，
当⊙A与x轴相切或点A在x轴上时，⊙A与坐标轴有两个公共点，
⊙A与x轴相切，则点A与x轴的距离为1，得到t=1或3；当点A在x轴上，则t=2；
所以t=1s或t=2或t=3；
故答案为45，1s或2s或3s；
（2）作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，AH⊥x轴于H，交直线OM于P，如图1，
则OB=t-2，AB=AC=1，OH=1，
∵直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°，
∴∠POH=45°，
∴∠OPH=45°，
∴∠APC=45°，
∴△OPH和△APC都是等腰直角三角形，
∴PH=OH=1，AP=√(2)AC=√(2)，
∴AH=AP+PH=√(2)+1，
而AH=OB，
∴t-2=√(2)+1，
∴t=3+√(2)；
（3）当点A在x轴下方，如图2，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，交x轴于Q，AH⊥x轴于H，⊙A与直线OM交于E、F，
则AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=2-t，
∵EF=1，
∴△AEF为等边三角形，
∴AC=(√(3))/(2)AE=(√(3))/(2)，
∵直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°，
∴∠COH=45°，
与（2）一样可得△OCQ和△AHQ都是等腰直角三角形，
∴HQ=AH=2-t，
∴OQ=OH-HQ=t-1，AQ=√(2)（2-t），
∴CQ=(√(2))/(2)OQ=(√(2))/(2)（t-1），
∵AC=CQ+AQ，
∴(√(2))/(2)（t-1）+√(2)（2-t）=(√(3))/(2)，解得t=3-(√(6))/(2)；
当点A在x轴上方，如图3，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，AH⊥x轴于H，交直线OM于Q，⊙A与直线OM交于E、F，
则AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=t-2，
与前面一样可得△AEF为等边三角形，AC=(√(3))/(2)，△ACQ和△OHQ都是等腰直角三角形，
∵HQ=OH=1，AQ=√(2)AC=√(2)•(√(3))/(2)=(√(6))/(2)，
∵AH=HQ+AQ，
∴t-2=1+(√(6))/(2)，得t=3+(√(6))/(2)，
综上所述，t的值为3-(√(6))/(2)或3+(√(6))/(2)．