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已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A、B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(1)如图1,当α=90°时,G
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已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A、B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.
(1)如图1,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC;
(2)如图2,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
(1)如图1,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC;
(2)如图2,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1中,∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠A=∠ABC=45°,
∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到,α=90°,
∴CB与CE重合,
∴∠CBE=∠A=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,
∵BG=AD=BF,
∴∠BGF=∠BFG=45°,
∴∠A=∠BGF=45°,
∴GF∥AC.
(2)①如图2中,∵CA=CE,CD=CF,
∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,
∵∠ACD=∠ECF,
∴∠ACE=∠CDF,
∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,
∴∠CAE=∠CDF,
∴A、D、M、C四点共圆,
∴∠CMF=∠CAD=45°,
∴∠CMD=180°-∠CMF=135°.
②如图3中,O是AC中点,连接OD、CM.
∵AD=DB,CA=CB,
∴CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
由①可知A、D、M、C四点共圆,
∴当α从90°变化到180°时,
点M在以AC为直径的 O上,运动路径是弧CD,
∵OA=OC,CD=DA,
∴DO⊥AC,
∴∠DOC=90°,
∴
的长=
=
.
∴当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为
.
∴∠A=∠ABC=45°,
∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到,α=90°,
∴CB与CE重合,
∴∠CBE=∠A=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,
∵BG=AD=BF,
∴∠BGF=∠BFG=45°,
∴∠A=∠BGF=45°,
∴GF∥AC.
(2)①如图2中,∵CA=CE,CD=CF,
∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,
∵∠ACD=∠ECF,
∴∠ACE=∠CDF,
∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,
∴∠CAE=∠CDF,
∴A、D、M、C四点共圆,
∴∠CMF=∠CAD=45°,
∴∠CMD=180°-∠CMF=135°.
②如图3中,O是AC中点,连接OD、CM.
∵AD=DB,CA=CB,
∴CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
由①可知A、D、M、C四点共圆,
∴当α从90°变化到180°时,
点M在以AC为直径的 O上,运动路径是弧CD,
∵OA=OC,CD=DA,
∴DO⊥AC,
∴∠DOC=90°,
∴
CD |
90π•1 |
180 |
π |
2 |
∴当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为
π |
2 |
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