已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是，∠EMC=°；（2）如

Question

已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．

（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是___，∠EMC=___°；
（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点E在CB的延长线上，（1）中的其他条件不变．
①（1）中ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论；
②求∠EMC的度数．

Answer 1

（1）如图1，
，
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF=90°，
∵点M是DF的中点，
∴ME=MD，
∵∠BCD=90°，点M是DF的中点，
∴MC=MD，
∴ME=MC；
∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∴∠EMF=∠MDE+∠MED=2∠MDE，
∵MC=MD，
∴∠MDC=∠MCD，
∴∠CMF=∠MDC+∠MCD=2∠MDC，
∴∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC，
又∵∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°．

（2）①ME=MC仍然成立．
证明：如图2，分别延长EM，CD交于点G，
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°．
∵∠BEF=90°，
∴∠FEB+∠DCB=180°．
∵点E在CB的延长线上，
∴FE∥DC．
∴∠1=∠G．
∵M是DF的中点，
∴FM=DM．
在△FEM和△DGM中，

∠1=∠G

∠2=∠3

FM=DM

，
∴△FEM≌△DGM，
∴ME=GM，
∴在Rt△GEC中，
MC=(1)/(2)EG=ME，
∴ME=MC． 
②如图3，分别延长FE，DB交于点H，
，
∵∠4=∠5，∠4=∠6，
∴∠5=∠6．
∵点E在直线FH上，∠FEB=90°，
∴∠HEB=∠FEB=90°．
在△FEB和△HEB中，

∠FEB=∠HEB

EB=EB

∠5=∠6

，
∴△FEB≌△HEB．
∴FE=HE．
∵FM=MD，
∴EM∥HD，
∴∠7=∠4=30°，
∵ME=MC，
∴∠7=∠8=30°，
∴∠EMC=180°-∠7-∠8=180°-30°-30°=120°． 
故答案为：ME=MC，120．