如图，已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF与EC交于G，则BG与GF的乘积为．

Question

如图，已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF与EC交于G，则BG与GF的乘积为___．

Answer 1

连接DE，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC=1，
∵EC=BC，
∴∠CBE=∠BEC=67.5°，
∵EF⊥BE，
∴∠CEF=22.5°，
∵EC=BC=DC，
∴∠DEF=45°，∠EDC=67.5°，
∴△EFD是等腰三角形，
∴ED=EF，
∵△BEC和△DEC是等腰三角形，且BC=CE=CD，
∴BE=ED，
∴BE=EF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠GBC=∠EBC-∠EBF=67.5°-45°=22.5°=∠CEF，
∵∠EGF=∠BGC，
∴△EGF∽△BGC，
∴BG•GF=EG•GC，
∵CE=AB=CB=1，
∴AE=√(2)-1=GC，
∴EG=EC-GC=2-√(2)，
∴EG•GC=(√(2)-1)(2-√(2))=3√(2)-4，
∴BG•GF=3√(2)-4．
故答案为：3√(2)-4．