如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是斜边AB的中点，AB=5，AC=3，点P在CE的延长线上，过点P作PQ⊥CB，交CB的延长线于点Q，且EP=x．（1）用含x的代数式表示BQ；（2）如图2，连接PB，过点B作BH⊥PC

Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是斜边AB的中点，AB=5，AC=3，点P在CE的延长线上，过点P作PQ⊥CB，交CB的延长线于点Q，且EP=x．
（1）用含x的代数式表示BQ；
（2）如图2，连接PB，过点B作BH⊥PC于H，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；
（3）如图3，过点B作BF⊥AB交PQ于F，∠BEF=∠A，求x的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

（1）如图1中，在RT△ABC中，∵AB=5，AC=3，
∴BC=√(52-32)=4，
∵PQ⊥CQ，
∴∠PQC=∠ACB=90°，
∵AE=EB，
∴CE=EB=AE(5)/(2)，
∴PCQ=∠ABC，
∴△ABC∽△PCQ，
∴(AB)/(PC)=(BC)/(CQ)，
∴(5)/((5)/(2)+x)=(4)/(4+BQ)，
∴BQ=(4)/(5)x-2，
（2）如图2中，∵BP平分∠CPQ，BH⊥PC，BQ⊥PQ，
∴BH=BQ=(4)/(5)x-2，
∵∠ABC=∠HCB，∠BHC=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△BCH，
∴(AC)/(BH)=(AB)/(BC)，
∴(3)/((4)/(5)x-2)=(5)/(4)，
∴x=(11)/(2)，
∴PE=(11)/(2)．
（3）如图3，
∵∠FBQ+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠FBQ，
∵∠ACB=∠EBF=90°，
∴△ABC∽△BFQ，
∴(AB)/(BF)=(AC)/(BQ)，
∴BF=(5)/(3)（(5)/(4)x-2），
∵∠FEB=∠A，∠EBF=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△EBF，
∴(AC)/(EB)=(BC)/(BF)，
∴(3)/((5)/(2))=(4)/((5)/(3)((5)/(4)x-2))，
∴x=(16)/(5)．