如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（7，0），顶点C的坐标为（0，5），∠OAB的平分线交边BC于点G，点E在边BC上，且△OCE沿OE翻折后点C恰好落在线段AG上的点F处．（1）求线

Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（7，0），顶点C的坐标为（0，5），∠OAB的平分线交边BC于点G，点E在边BC上，且△OCE沿OE翻折后点C恰好落在线段AG上的点F处．
（1）求线段AF的长；
（2）设点D（-1，0），在x轴上取一点P，连接FD、FP．若∠FDO+∠FPO=∠FOA，且tan∠FOA=(4)/(3)时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）如图1，过点F作FH⊥OA，垂足为H，
∵四边形OABC为矩形，
∴∠OAB=90°，
∵AG平分∠OAB，
∴∠OAG=45°，
∴FH=HA，
∵OH²+FH²=OF²，
∴（7-x）²+x²=5²，
解得：x₁=3，x₂=4，
∴AF=√(2)x=3√(2)或4√(2)；
（2）由（1）可知，点F的坐标是（3，4）或（4，3），
∵tan∠FOA=(4)/(3)，
∴F的坐标是（3，4），
如图2，过点F作FH⊥OA于点H，

且DF²=DH²+FH²=4²+4²=32，OF²=OH²+FH²=3²+4²=25，
∵∠FOA=∠FDO+∠DFO，∠FDO+∠FPO=∠FOA，
∴∠DFO=∠FPO，
①当点P₁落在x轴的正半轴上时，有△DOF∽△DFP₁，∴(DF)/(DP1)=(DO)/(DF)，
∴DF²=DO•DP₁，
∴DP₁=32，
∴OP₁=31，即P₁（31，0）；
②当点P₂落在x轴的负半轴上时，有△DOF∽△FOP₂，
∴(OF)/(OP2)=(DO)/(OF)，
∴OF²=DO•0P₂，
∴OP₂=25，
∴P₂（-25，0）．
∴点P的坐标为：P₁（31，0）；P₂（-25，0）．