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在平面直角坐标系中,点B(0,4),C(-5,4),点A是x轴负半轴上一点,S四边形AOBC=24.(1)线段BC的长为,点A的坐标为;(2)如图1,BM平分∠CBO,CM平分∠ACB,BM交CM于点M,试给
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在平面直角坐标系中,点B(0,4),C(-5,4),点A是x轴负半轴上一点,S四边形AOBC=24.
(1)线段BC的长为______,点A的坐标为______;
(2)如图1,BM平分∠CBO,CM平分∠ACB,BM交CM于点M,试给出∠CMB与∠CAO之间满足的数量关系式,并说明理由;
(3)若点P是在直线CB与直线AO之间的一点,连接BP、OP,BN平分∠CBP,ON平分∠AOP,BN交ON于N,请依题意画出图形,给出∠BPO与∠BNO之间满足的数量关系式,并说明理由.
(1)线段BC的长为______,点A的坐标为______;
(2)如图1,BM平分∠CBO,CM平分∠ACB,BM交CM于点M,试给出∠CMB与∠CAO之间满足的数量关系式,并说明理由;
(3)若点P是在直线CB与直线AO之间的一点,连接BP、OP,BN平分∠CBP,ON平分∠AOP,BN交ON于N,请依题意画出图形,给出∠BPO与∠BNO之间满足的数量关系式,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点B(0,4),C(-5,4),
∴BC=5,
S四边形AOBC=
(BC+OA)•OB=
(5+OA)•4=24,
解得OA=7,
所以,点A的坐标为(-7,0);
(2)∵点B、C的纵坐标相同,
∴BC∥OA,
∴∠ACB=180°-∠CAO,
∠CBO=90°,
∵BM平分∠CBO,CM平分∠ACB,
∴∠MCB=
(180°-∠CAO)=90°-
∠CAO,
∠MBC=
∠CBO=
×90°=45°,
在△MBC中,∠CMB+∠MCB+∠MBC=180°,
即∠CMB+90°-
∠CAO+45°=180°,
解得∠CMB=45°+
∠CAO;
(3)①如图1,当点P在OB左侧时,∠BPO=2∠BNO.
理由如下:在△BPO中,∠PBO+∠POB=180°-∠BPO,
∵BC∥OA,BN平分∠CBP,ON平分∠AOP,
∴∠NBP+∠NOP=
(180°-∠PBO-∠POB),
在△NOB中,∠BNO=180°-(∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB),
=180°-[
(180°-∠PBO-∠POB)+∠PBO+∠POB],
=90°-
(∠PBO+∠POB),
=90°-
(180°-∠BPO),
=
∠BPO,
∴∠BPO=2∠BNO;
②如图2,当点P在OB右侧时,∠BNO+
∠BPO=180°.
理由如下:∵BC∥OA,
∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°,
∵BN平分∠CBP,ON平分∠AOP,
∴∠PBN+∠PON+
∠BPO=
×360°=180°,
∴∠PBN+∠PON=180°-
∠BPO,
在四边形BNOP中,∠BNO=360°-∠PBN-∠PON-∠BPO=360°-(180°-
∠BPO)-∠BPO=180°-
∠BPO,
∴∠BNO+
∠BPO=180°.
∴BC=5,
S四边形AOBC=
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解得OA=7,
所以,点A的坐标为(-7,0);
(2)∵点B、C的纵坐标相同,
∴BC∥OA,
∴∠ACB=180°-∠CAO,
∠CBO=90°,
∵BM平分∠CBO,CM平分∠ACB,
∴∠MCB=
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∠MBC=
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在△MBC中,∠CMB+∠MCB+∠MBC=180°,
即∠CMB+90°-
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解得∠CMB=45°+
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(3)①如图1,当点P在OB左侧时,∠BPO=2∠BNO.
理由如下:在△BPO中,∠PBO+∠POB=180°-∠BPO,
∵BC∥OA,BN平分∠CBP,ON平分∠AOP,
∴∠NBP+∠NOP=
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在△NOB中,∠BNO=180°-(∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB),
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=90°-
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=90°-
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∴∠BPO=2∠BNO;
②如图2,当点P在OB右侧时,∠BNO+
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理由如下:∵BC∥OA,
∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°,
∵BN平分∠CBP,ON平分∠AOP,
∴∠PBN+∠PON+
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∴∠PBN+∠PON=180°-
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在四边形BNOP中,∠BNO=360°-∠PBN-∠PON-∠BPO=360°-(180°-
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