小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究：如图1,四边形ABCD中,AD小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究：如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连

Question

小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究：如图1,四边形ABCD中,AD
小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究：
如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证：S四边形ABCD=S△ABF（S表示面积）
如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由．
实际应用：如图3,若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin66°≈0.91,tan66°≈2.25,
3
≈1.73）
拓展延伸：如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为（6,0）（6,3）（
9
2
,
9
2
）、（4、2）,过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．

Answer 1

思路分析：问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；  问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；  实际运用：如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1,再根据条件由三角函数值就可以求出结论； 拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N,延长OC、AB交于点D,由条件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面积,再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；  当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,延长CB交x轴于T,由B、C的坐标可得直线BC的解析式,就可以求出T的坐标,从而求出△OCT的面积,再由问题迁移的结论可以求出最大值,通过比较久可以求出结论．

问题情境：∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE． ∵点E为DC边的中点, ∴DE=CE．

∵在△ADE和△FCE中, 
,
∴△ADE≌△FCE（AAS）,
∴S△ADE=S△FCE,
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE,
即S四边形ABCD=S△ABF；

问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,如图2,

过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF＜PE,过点M作MG∥OB交EF于G,
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF,
∴S△MON＜S△EOF,
∴当点P是MN的中点时S△MON最小；

实际运用：如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1

在Rt△OPP1中,
∵∠POB=30°,
∴PP1=OP=2,OP1=2．
由问题迁移的结论知道,当PM=PN时,△MON的面积最小,
∴MM1=2PP1=4,M1P1=P1N．
在Rt△OMM1中,

tan∠AOB=