如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3：1：4，点E在边AD上，CE交BD于G，设BGGD＝DEEA＝k．（1）求37k2+20的值；（2）若点H分线段BE成BHHE＝2的两段，且AH2+BH2+DH2=p2，试用含p

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如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3：1：4，点E在边AD上，CE交BD于G，设

＝

＝k．
（1）求

3	7k2+20

的值；
（2）若点H分线段BE成

＝2的两段，且AH²+BH²+DH²=p²，试用含p的代数式表示△ABD三边长的平方和．

▼优质解答

答案和解析

略（1）不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4．
∵

＝

＝k，
∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是

k+1

．
∴△CDG的面积是

k+1

，△CDE的面积为

k+1

，△DEG的面积是

(k+1)2

．
由此可得：

k+1

(k+1)2

k+1

，
即4k²-3k-1=0，
∴k=1．
∴

3	7k2+20

=3．

（2）由（1）知：E、G分别为AD、BD的中点，

又∵点H分线段BE成

＝2的两段，
∴点H是△ABD的重心．
而当延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：2（AB²+BD²）=AD²+4BE²，类似地有

2(BD2+AD2)＝AB2+4DM2

2(AB2+AD2)＝BD2+4AG2

，其中点M为边AB的中点．
∴3（AB²+BD²+AD²）=4（BE²+DM²+AG²）．
∵AH＝

AG，BH＝

BE，DH＝

DM，AH²+BH²+DH²=p²，
∴BE2+DM2+AG2＝