如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，

∠OBE=∠ODF

OB=OD

∠BOE=∠DOF

，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2） 当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²，
∴x²=4²+（6-x）²，
解得：x=(13)/(3)，
∵BD=√(AD2+AB2)=2√(13)，
∴OB=(1)/(2)BD=√(13)，
∵BD⊥EF，
∴EO=√(BE2-OB2)=(2√(13))/(3)，
∴EF=2EO=(4√(13))/(3)．