（1）证法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：．证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF

Question

（1）【证法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
求证：___．
证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；请继续完成证明过程：

（2）【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长．
（3）【拓展研究】如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3 √(2)，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长．

Answer 1

（1）DE∥BC，DE=(1)/(2)BC，
证明：如图，延长DE 到点F，使得EF=DE，连接CF
在△ADE和△CFE中，

AE=EC

∠AED=∠CEF

DE=EF

，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=(1)/(2)BC．
故答案为：DE∥BC，DE=(1)/(2)BC．

（2）如图2，延长GE、FD交于点H，
∵E为AD中点，
∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，
在△AEG和△DEH中，

∠A=∠HDE

EA=ED

∠AEG=∠HED

∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴AG=HD=2，EG=EH，
∵∠GEF=90°，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，
同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，
∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3√(2)，
∵∠ADC=120°，
∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，
∴∠HDP=45°，
∴△PDH为等腰直角三角形，
∴PD=PH=3，
∴PF=PD+DF=3+2=5，
在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5，
∴HF=√(HP2+FP2)═√(34)
∴GF=√(34)．