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若定义在R上的函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x-1),且f(0)=1,则f(2006)=.
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若定义在R上的函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x-1),且f(0)=1,则f(2006)=______.
▼优质解答
答案和解析
由y=f-1(x-1),得x-1=f(y),即x=f(y)+1.
∴函数y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1.
又y=f-1(x-1)的反函数是y=f(x+1),
∴f(x+1)=f(x)+1.
∴f(2006)=f(2005)+1=f(2004)+1+1=…=f(0)+1+1+…+1=f(0)+2006=2007.
故答案为:2007.
∴函数y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1.
又y=f-1(x-1)的反函数是y=f(x+1),
∴f(x+1)=f(x)+1.
∴f(2006)=f(2005)+1=f(2004)+1+1=…=f(0)+1+1+…+1=f(0)+2006=2007.
故答案为:2007.
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