定义在R上的增函数y=f（x），对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求f（0）；（2）判断f（x）的奇偶性并给予证明；（3）若f（k3x）+f（3x-9x-2）＜0，对任意的x∈R恒成立，求实数k的

Question

定义在R上的增函数y=f（x），对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）；
（2）判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）令y=x=0得
f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）f（x）为奇函数，理由如下：
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x）
故f（-x）=-f（x）
又函数的定义域为R
∴f（x）为奇函数
（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0
∴若f（k3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
又函数f（x）是R上的增函数
∴k3^x＜-3^x+9^x+2
即（3^x）²-（k+1）3^x+2＞0
令t=3^x，则t＞0
故已知条件可化为t²-（k+1）t+2＞0在（0，+∞）上恒成立
即k+1＜t+(2)/(t)，t+(2)/(t)≥2√(2)
解得k＜2√(2)-1
∴a的取值范围是（-∞，-1+2√(2)）