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lim(cos2x-cos3x)/[根号(1+x^2)-1]X趋近于0
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lim(cos2x-cos3x)/[根号(1+x^2)-1] X趋近于0
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答案和解析
lim(x→0) (cos2x-cos3x)/[√(1+x^2)-1]
=lim(x→0) (cos2x-cos3x)×1/[√(1+x^2)-1] 分母有理化
=lim(x→0) (cos2x-cos3x)×[√(1+x^2)+1]/[(1+x^2)-1]
=lim(x→0) (cos2x-cos3x)/x^2×lim(x→0) [√(1+x^2)+1]
=2×lim(x→0) (cos2x-cos3x)/x^2
=2×lim(x→0) (cos2x-1+1-cos3x)/x^2
=2×lim(x→0) (cos2x-1)/x^2+2×lim(x→0) (1-cos3x)/x^2
=2×lim(x→0) [(-1/2×(2x)^2]/x^2+2×lim(x→0) [1/2×(3x)^2]/x^2
=2×(-1/2×4)+2×(1/2×9)=5
=lim(x→0) (cos2x-cos3x)×1/[√(1+x^2)-1] 分母有理化
=lim(x→0) (cos2x-cos3x)×[√(1+x^2)+1]/[(1+x^2)-1]
=lim(x→0) (cos2x-cos3x)/x^2×lim(x→0) [√(1+x^2)+1]
=2×lim(x→0) (cos2x-cos3x)/x^2
=2×lim(x→0) (cos2x-1+1-cos3x)/x^2
=2×lim(x→0) (cos2x-1)/x^2+2×lim(x→0) (1-cos3x)/x^2
=2×lim(x→0) [(-1/2×(2x)^2]/x^2+2×lim(x→0) [1/2×(3x)^2]/x^2
=2×(-1/2×4)+2×(1/2×9)=5
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