若sinAcosB=1,则cos(A+B)=?

Question

若sinAcosB=1,则cos(A+B)=?

Answer 1

下面的α=A,β=B.
2sinαcosβ＝2,
根据积化和差公式可得；2sinαcosβ=sin(α+β)+ sin(α-β)
（把sin(α+β)+ sin(α-β)展开可以知道sin(α+β)+ sin(α-β)=2sinαcosβ）
所以sin(α+β)+ sin(α-β) ＝2,
因为sin(α+β) ≤1,sin(α-β) ≤1,
所以只能有sin(α+β) ＝1,sin(α-β) ＝1.
因为sin(α+β) ＝1,则cos（α＋β）＝0.
另外sinαcosβ＝1,|sinα|≤1,|cosβ|≤1,
由此可以知道sinα=cosβ＝1,或sinα=cosβ＝-1,
此时cosα=sinβ=0
代入cos（α＋β）的展开式中可知cos（α＋β）=0.