a(1)=1,S(n)=a(n+1)-3^n,求a(n)括号内为下标

Question

a(1)=1,S(n)=a(n+1)-3^n,求a(n) 括号内为下标

Answer 1

S(n)=a(n+1)-3^n
S(n-1)=a(n)-3^(n-1)
∴S(n)-S(n-1)=a(n+1)-3^n-a(n)+3^(n-1)=a(n+1)-a(n)-2×3^(n-1)
即a(n)=a(n+1)-a(n)-2×3^(n-1)
即a(n+1)=2a(n)+2×3^(n-1)
∴a(n+1)-2×3^n=2a(n)+2×3^(n-1)-2×3^n
a(n+1)-2×3^n=2a(n)-4×3^(n-1)
a(n+1)-2×3^n=2[a(n)-2×3^(n-1)]
即[a(n+1)-2×3^n]/[a(n)-2×3^(n-1)]=2
设a(n)-2×3^(n-1)=b(n)
b(n+1)=a(n+1)-2×3^n
b(n+1)/b(n)=2
b(1)=a(1)-2=1-2=-1
∴数列b(n)={a(n)-2×3^(n-1)}是等比数列,公比为2,首项为-1
∴第n项为b(n)=a(n)-2×3^(n-1)=(-1)×2^(n-1)
∴a(n)=(-1)×2^(n-1)+2×3^(n-1)
a(n)=2×3^(n-1)-2^(n-1)