椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,其中两焦点为F1F2,P为椭圆上一点,角F1PF2=2seita,求证PF1*PF2*cos^2seita=

Question

椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,其中两焦点为F1F2,P为椭圆上一点,角F1PF2=2seita,求证PF1*PF2*cos^2seita=

Answer 1

设PF1＝t,则PF2=2a-t,F1F2＝2c
所以
cosF1PF2=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2PF1*PF2)=2cos^2θ-1
(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)=(2PF1*PF2)*(2cos^2θ-1)
PF1^2+PF2^2+F1F2^2=4PF1*PF2cos^2θ
4PF1*PF2cos^2θ=PF1^2+PF2^2+F1F2^2
=PF1^2+PF2^2+2F1F2^2-F1F2^2
=(PF1+PF2)^2-F1F2^2
=(2a)^2-(2c)^2
=4b^2
所以
PF1*PF2cos^2θ=b^2