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在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,sinC+sin(A-B)=3sin2B.若C=π3,则ab=()A.12B.3C.12或3D.3或14
题目详情
在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,sinC+sin(A-B)=3sin2B.若C=
,则
=( )
A.
B.3
C.
或3
D.3或
π |
3 |
a |
b |
A.
1 |
2 |
B.3
C.
1 |
2 |
D.3或
1 |
4 |
▼优质解答
答案和解析
∵A+B=π-C,
∴sinC=sin(π-C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
又∵sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB,
∴sinC+sin(A-B)=3sin2B,即(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB-cosAsinB)=6sinBcosB,
化简得2sinAcosB=6sinBcosB,即cosB(sinA-3sinB)=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB.
①若cosB=0,结合B为三角形的内角,可得B=
,
∵C=
,∴A=
−C=
,
因此sinA=sin
=
,由三角函数的定义得sinA=
=
;
②若sinA=3sinB,由正弦定理得a=3b,所以
=3.
综上所述,
的值为
或3.
故选:C
∴sinC=sin(π-C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
又∵sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB,
∴sinC+sin(A-B)=3sin2B,即(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB-cosAsinB)=6sinBcosB,
化简得2sinAcosB=6sinBcosB,即cosB(sinA-3sinB)=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB.
①若cosB=0,结合B为三角形的内角,可得B=
π |
2 |
∵C=
π |
3 |
π |
2 |
π |
6 |
因此sinA=sin
π |
6 |
1 |
2 |
a |
b |
1 |
2 |
②若sinA=3sinB,由正弦定理得a=3b,所以
a |
b |
综上所述,
a |
b |
1 |
2 |
故选:C
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