设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f（π2）=f（2π3）=-f（π6），则f（x）的最小正周期为．

Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[(π)/(6)，(π)/(2)]上具有单调性，且f（(π)/(2)）=f（(2π)/(3)）=-f（(π)/(6)），则f（x）的最小正周期为______．

Answer 1

∵f（x）=sin（ωx+φ）在区间[(π)/(6)，(π)/(2)]上具有单调性，ω＞0，
∴(π)/(2)-(π)/(6)≤(1)/(2)T=(1)/(2)•(2π)/(ω)=(π)/(ω)，即(π)/(3)≤(π)/(ω)，
∴0＜ω≤3；
又f（(π)/(2)）=f（(2π)/(3)）=-f（(π)/(6)），
∴x=((π)/(2)+(2π)/(3))/(2)=(7π)/(12)为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，且（((π)/(6)+(π)/(2))/(2)，0）即（(π)/(3)，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，
依题意知，x=(7π)/(12)与（(π)/(3)，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心，
∴(1)/(4)T=(1)/(4)•(2π)/(ω)=(7π)/(12)-(π)/(3)=(π)/(4)，
解得：ω=2∈（0，3]，
∴T=(2π)/(2)=π，
故答案为：π．