若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y＝f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知f（x）=x2+（cotθ-1）x+b（θ、b是常数，b＞0）．（1）若f（x）是偶函数，求θ、b

Question

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y＝(f(x))/(x)在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知f（x）=x²+（cotθ-1）x+b（θ、b是常数，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函数，求θ、b应满足的条件；
（2）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”，求实数b的范围．
（3）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”，求实数b的范围．

Answer 1

（1）若f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），
即x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b对任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，∴若f（x）是偶函数，则θ＝kπ+(π)/(4)(k∈Z)，b＞0，
（2）当cotθ≥1时，f（x）=x²+（cotθ-1）x+b的对称轴是x＝−(cotθ−1)/(2)≤0
∴f（x）在（0，1]上是增函数，
考察函数g(x)＝(f(x))/(x)＝x+(b)/(x)+(cotθ−1)，
当√(b)≥1，即b≥1时，设0＜x₁＜x₂≤1，则g(x1)−g(x2)＝[x1+(b)/(x1)+(cotθ−1)]−[x2+(b)/(x2)+(cotθ−1)]＝((x1−x2)(x1x2−b))/(x1x2)
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1≤b，
∴g(x1)−g(x2)＝((x1−x2)(x1x2−b))/(x1x2)＞0
即g（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；
综上所述，b≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；
（3）当0＜√(b)＜1，即0＜b＜1时，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是单调函数，
∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”．
综上所述0＜b＜1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”